第 2 章 数据的表示和运算¶
依据：2016 年版教材第 2 章及配套大纲。本章按教材十节组织，算例为辅助练习。位串在未说明时，均须先确定长度和解释类型。下文编号指大纲“考核内容与考核要求”。
复习导航：大纲要求与笔记位置¶
| 大纲条目 | 层次 | 位置 | 学完应能做到 |
|---|---|---|---|
| 1 数制和编码 | 领会；简单应用 | 第 1 节 | 说明真值与机器数的关系，完成进位制转换与原反补移码转换 |
| 2 整数的表示 | 领会；简单应用 | 第 2 节 | 解释补码被采用的原因，处理扩宽、截断与类型转换 |
| 3 实数的表示 | 领会；简单应用 | 第 3 节 | 说明格式与精度范围的关系，在真值与单精度间转换 |
| 4 非数值数据的编码 | 领会 | 第 4 节 | 说明逻辑值、ASCII、GB 2312 的表示方法 |
| 5 数据的宽度和存储 | 领会；简单应用 | 第 5 节 | 区分容量单位，按大端小端与对齐规则计算变量地址和大小 |
| 6 数据校验码 | 领会；简单应用 | 第 6 节 | 说明奇偶、海明、CRC 的基本思想，计算给定数串的校验位 |
| 7 加法器和 ALU | 识记；领会；简单应用 | 第 7 节 | 解释带标志加法器的结构，对给定运算说明结果与标志 |
| 8 定点乘法运算 | 领会；简单应用 | 第 8 节 | 说明无符号与原码、补码乘的原理，算出乘积机器数与真值 |
| 9 定点除法运算 | 领会 | 第 9 节 | 说明恢复余数法与加减交替法的思路 |
| 10 浮点数运算 | 领会；简单应用 | 第 10 节 | 对给定浮点数完成加减运算，说明附加位与舍入模式 |
第 9 条在所用大纲 OCR 稿中缺少细分说明，此处依教材保留。本章多数条目兼有领会与简单应用，需要结合具体数据计算；仅第 4 条为纯领会。
本章学习目标¶
本章先讨论数据怎样编码和存储，再说明运算部件怎样处理这些编码。数制转换、补码、IEEE 754、端序与对齐、奇偶校验、加减运算和标志判断，都要结合具体数据计算。乘除法侧重算法思路及其应用。
1 数制和编码（1，领会、简单应用）¶
r 进制采用位权表示：以个位为第 0 位，第 i 位的权为 rⁱ，小数点右侧的位权依次为 r⁻¹、r⁻²。各位数字乘以对应位权再求和，即得该数的值。
十进制整数转换为二进制时，反复除以 2 并记录余数，再把余数倒序排列；小数部分则反复乘以 2，按顺序记录整数部分，转换可能无限循环。二进制转八进制每 3 位一组，转十六进制每 4 位一组。分组以小数点为界向两侧进行，最外侧不足一组时补零。
例：(45.625)₁₀=(101101.101)₂=(2D.A)₁₆。0.1₁₀不能用有限位二进制小数精确表示，浮点误差由此产生。
真值是实际的数学值，机器数是指定编码下的位串。下表按 n 位字长、含一位符号位列出：
| 编码 | 正数 | 负数 | 整数范围与零 |
|---|---|---|---|
| 原码 | 符号0+绝对值 | 符号1+绝对值 | ±(2ⁿ⁻¹−1)，有±0 |
| 反码 | 同原码 | 正数编码逐位取反 | 同原码，有±0 |
| 补码 | 同原码 | 正数编码取反加1 | −2ⁿ⁻¹至2ⁿ⁻¹−1，零唯一 |
| 移码 | 真值加偏置后编码 | 同一规则 | 范围取决于偏置，不可默认所有格式偏置相同 |
8 位 −5 的三种编码：原码 10000101，反码 11111010，补码 11111011。n 位补码的最高位权为 −2ⁿ⁻¹，其余位权不变。11111011 按权相加得 −128+123=−5。常见偏置 2ⁿ⁻¹ 的移码与补码只有最高位相反；IEEE 阶码使用的偏置另有规定。
2 整数的表示（2，领会、简单应用）¶
n 位无符号数的范围是 0 至 2ⁿ−1，补码的范围是 −2ⁿ⁻¹ 至 2ⁿ⁻¹−1。补码相加按模 2ⁿ 运算，符号位参与计算，最终只保留 n 位。这样加法与减法就能共用同一加法器。
- 无符号数扩宽补 0；补码扩宽复制符号位，例如 8 位 −5 扩为 16 位是 11111111 11111011。
- 截断保留低位，可能改变真值。同一位置串按有符号或无符号解释，数值也不同：8 位 FFH 分别为 −1 或 255。
- C 语言类型转换应先明确位宽和规则。有符号溢出不能简单当成语言保证的环绕行为，机器截断结果与语言层面的合法语义要分开看。
3 实数与 IEEE 754（3，领会、简单应用）¶
整数编码的小数点位置固定，表示范围受位数限制。浮点表示把数值分成符号、尾数和阶码，用“符号×尾数×基数的阶次”描述，从而在有限位数下覆盖更大的范围。阶码位数主要决定范围，尾数有效位数主要决定精度。二进制规格化的非零数通常写成 ±1.f×2ᵉ。
| 格式 | 符号s | 阶码E | 小数部分F | 偏置 |
|---|---|---|---|---|
| 单精度32位 | 1位 | 8位 | 23位 | 127 |
| 双精度64位 | 1位 | 11位 | 52位 | 1023 |
单精度正规数：值=(−1)ˢ×(1.F)₂×2^(E−127)，1≤E≤254，隐藏的首位1使有效精度为24位。
| 单精度阶码/尾数字段 | 含义 |
|---|---|
| E=0，F=0 | ±0 |
| E=0，F≠0 | 非规格化数，值=(−1)ˢ×0.F×2⁻¹²⁶ |
| 1≤E≤254 | 正规数 |
| E=255，F=0 | ±∞ |
| E=255，F≠0 | NaN |
最小正正规数 2⁻¹²⁶，最小正非规格化数 2⁻¹⁴⁹，最大有限正数 (2−2⁻²³)×2¹²⁷。NaN 与无穷大不是一回事。
编码算例：−13.25=−1101.01₂=−1.10101₂×2³。s=1，E=130=10000010₂，F=10101000000000000000000，整体为 C1540000H。解码时先判断特殊阶码，再套公式；E=0 时不能再补隐藏位 1。
整数转浮点可能丢精度；浮点转整数可能截去小数，也可能越界。单精度能精确表示所有绝对值不超过 2²⁴ 的整数，但表示不了全部 32 位整数。
4 非数值数据（4，领会）¶
二进制位串也能表示逻辑值和字符，具体含义由编码规则决定。逻辑值的真假约定随语言或机器而变。ASCII 基本码用 7 位，可表示 128 个字符，存储时常占一个字节。字符 '0' 的编码是 30H，与数值 0 的全零编码含义并不相同。
GB 2312 中的汉字编码涉及区位码、国标码和机内码。把区号、位号分别加 20H，可得到相应的国标码字节；再把各字节的最高位置 1，就是常见的双字节机内码。区号、位号若以十进制给出，应先按其数值转换，不能把十进制书写形式直接当作十六进制码值。
5 数据宽度、端序和对齐（5，领会、简单应用）¶
1 B=8 bit。教材计算容量时常按 1 KB=2¹⁰ B、1 MB=2²⁰ B；题目若采用十进制单位，应按题意处理。数据字长、地址宽度、指令长度互不等同。
32 位 12345678H 从地址 1000H 开始存放：
| 地址 | 大端 | 小端 |
|---|---|---|
| 1000H | 12 | 78 |
| 1001H | 34 | 56 |
| 1002H | 56 | 34 |
| 1003H | 78 | 12 |
端序规定多字节对象的字节顺序。对齐要求对象的起始地址是某个数的倍数，为此会引入填充。例如按 char 对齐 1、int 对齐 4、结构整体对齐 4：char a; int b; char c; 的偏移为 0、4、8，整体占 12 字节。不同 ABI 的规则可能不同，计算前先写明假设。
6 数据校验码（6，领会、简单应用）¶
偶校验要求含校验位的整个码字中 1 的个数为偶数，奇校验则要求为奇数。数据 1011001 含 4 个 1，故偶校验位为 0，奇校验位为 1。单个奇偶位能检出奇数个位翻转，但不能定位纠错，也检出不了所有偶数位错误。
海明码让多个校验组交叉覆盖数据。校验位一般放在 1、2、4、8 等位置，综合各组的校验结果即可定位单比特错误。k 位数据配 r 位校验位时，单错定位通常要求 2ʳ≥k+r+1；再加一个总体奇偶位，还能扩展检错能力。
CRC 把位串看作 GF(2) 多项式，用模 2 除法产生余数。r 次生成多项式对应 r 位校验码，计算步骤是：数据后补 r 个 0 → 除以生成多项式 → 取 r 位余数拼接；接收时再除一次检验。模 2 减法就是异或，不借位。CRC 的检错能力取决于生成多项式，不能笼统地说它能纠正任意错误。
7 加法器和 ALU（7，识记、领会、简单应用）¶
半加器：S=A⊕B，C=AB。全加器还接收低位进位 Cin：S=A⊕B⊕Cin，Cout=AB+(A⊕B)Cin。串行进位结构简单，代价是进位传播慢；先行进位用产生/传递逻辑缩短延迟。ALU 在控制信号下选择加减、逻辑与或异或、移位等操作。
补码减法可以转换为加上减数的相反数，因此加减运算能共用同一加法器。其关系为 F=X+(Y⊕Sub)+Sub，其中 Y 的每一位都要与控制位 Sub 异或。Sub=0 时 Y 不变，执行 X+Y；Sub=1 时 Y 逐位取反并加 1，执行 X−Y。结果保留指定位数后，还要靠状态标志判断溢出、进位等情况。
| 标志 | 本教材口径 |
|---|---|
| ZF | 结果全零则1 |
| SF | 结果最高位 |
| OF | 有符号溢出，等于进入符号位和离开符号位的进位异或 |
| CF | 无符号进/借位；加法为Cout，减法为¬Cout，即Sub⊕Cout |
加法方面，同号相加而得异号则 OF=1；减法方面，两操作数异号且结果符号与被减数不同则 OF=1。不同架构对减法进位标志的命名可能不同，答题时优先按题目给出的定义。
8 位 7FH+01H=80H：SF=1、ZF=0、OF=1、CF=0。带符号的 127+1 已越界，无符号结果 128 却正确。FFH+01H=00H：CF=1、ZF=1、OF=0。00H−01H=FFH：借位 CF=1、OF=0。
逻辑右移补 0，补码算术右移则复制符号位。左移丢弃高位，只有未溢出时才能当作乘 2；负奇数算术右移的结果，也不一定等于语言规定的向零除法结果。
8 定点乘法（8，领会、简单应用）¶
无符号乘法按乘数的每一位决定是否累加移位后的被乘数，本质是部分积相加。n 位×n 位通常保留 2n 位积。原码乘法先异或符号位，再计算绝对值乘积。
例：0101₂×0011₂=00000101+00001010=00001111₂。若是 −5×3，真值为 −15，8 位补码积为 11110001。
补码乘法可用 Booth 思想处理连续的 1。在乘数低端附加一个 0，每步观察 (Q₀,Q₋₁)：01 加被乘数，10 减被乘数，00 或 11 不加减，然后对部分积与乘数组合算术右移，重复指定位数。运算要保持符号扩展，极值情形可能还需要扩展位。不能把补码直接当无符号数相乘后不加解释。
9 定点除法（9，领会）¶
除法通过比较、减法和移位逐位生成商。恢复余数法先试减除数：余数非负则商 1，为负则商 0 并恢复原余数。加减交替法保留负余数，下一轮用加法修正，省去了恢复操作。
除法结果应满足“被除数=除数×商+余数”。例如 13÷3 的商为 4、余数为 1。带符号整数的商和余数符号，还要按规定的舍入方向确定。除数为 0 属于异常情况；n 位补码最小负数除以 −1 时，所得正商超出 n 位补码范围。定点小数除法还涉及隐含小数点和缩放，计算前需确定商的表示范围。
10 浮点数运算（10，领会、简单应用）¶
浮点加减要求两数的小数点位置一致，因此先比较阶码，把较小阶码对应的尾数右移，使两数阶码相同，再完成尾数加减。所得尾数可能不再满足规格化要求：若产生进位，需右移尾数并增大阶码；若减法使前导有效位消失，则可能需左移尾数并减小阶码。规格化之后进行舍入，再检查阶码范围和特殊结果。舍入本身也可能引起进位，结果有时还需再调整一次。
例：1.100₂×2²+1.000₂×2⁰=1.100₂×2²+0.010₂×2²=1.110₂×2²=7。对阶时要先保留附加位，最后统一舍入；过早截断会增大误差。
常用附加信息为保护位 G、舍入位 R 和粘滞位 S，其中 S 概括更低各位是否存在 1。舍入方式有四类：向最近（恰好中点取偶）、向 0、向 +∞、向 −∞。最近取偶规则下，若被丢弃部分恰为半个末位单位，保留结果的最低位取偶。
浮点乘法：符号异或、真实阶码相加、尾数相乘、规格化舍入；除法：符号异或、真实阶码相减、尾数相除、规格化舍入。存储阶码含偏置，不能直接相加而忘了偏置修正。浮点加法受舍入影响，不一定满足结合律。
11 考核要求¶
本章重点为无符号数表示、带符号整数补码表示、IEEE 754 浮点标准、定点数移位、整数加减、浮点加减、ALU 的功能与实现；难点为 IEEE 浮点数的表示范围、特殊数（NaN、无穷大）的表示、定点乘除运算、浮点乘除运算。大纲说明难点并非重点，主要注重方法和思路，不要求死记递推公式。
12 教材本章习题¶
本节按“单项选择题／填空题／简答题”分节，答案依据教材附录。
| 自测题（自编） | 参考答案与辨析 |
|---|---|
| 8 位 80H 的无符号值和补码值？ | 128、−128。 |
| 8 位补码最小数取负是否仍可表示？ | 不能表示+128，发生有符号溢出。 |
| 单精度 E=0 是否表示指数−127 且尾数 1.F？ | 否，应按零或非规格化数规则。 |
| 8 位 FEH+02H 的 OF、CF？ | OF=0，CF=1。 |
| 大端存储是否反转每个字节中的位？ | 否，端序只改变字节顺序，不改变字节内的位序。 |
| 浮点减法得到很多前导 0 后怎么办？ | 左规、调整阶码，再舍入和检查。 |
复习顺序建议：补码与范围 → 加减与标志 → IEEE 编码 → 端序对齐 → 浮点加减 → 校验码与乘除方法。
13 闭卷复习与跨章联系（补充）¶
本章的编码规则是后续章节的输入。第 3 章的寻址方式要把地址字段解释成数值；第 7 章讨论的整数范围与溢出，直接影响程序正确性；第 4 章数据通路中的 ALU 与标志寄存器，正是第 7 节的硬件实现。计算题的常见毛病是先算数、后确认位宽与解释类型，本章各表都应按“先定长度和编码，再定数值”的顺序使用。